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Resolver ecuaciones de primer grado

Resolver ecuaciones es encontrar el valor de la incógnita que verifica la igualdad algebraica.

Para resolver ecuaciones seguimos este método general

1 Eliminar parentesis
2 Reducimos términos algebraicos semejantes (si los hay)
3 Transponer términos
4 Reducir términos semejantes (estos pasos se pueden repetir si la ecuación lo permite)
5 Despejar la incógnita
6 Comprobamos sustituyendo en la ecuación original

Ejemplos de ecuaciones

Resolvemos la ecuación
4(x-3)+40=64-3(x-2)
Eliminamos parentesis
4x-12+40=64-3x+6
Reducimos términos semejantes
4x+28=70-3x
Transposición de terminos
4x+3x=70-28
Reducimos terminos
7x=42
Despejamos incógnita
x=42/7    x=6
Comprobamos sustituyendo
4(6-3)+40=64-3(6-2)
La igualdad algebraica se cumple, 6 es solución de la ecuación.

Resolvemos la ecuación
2(x-4)-(6+x)=3x-4

2x-8-6-x=3x-4
x-14=3x-4
x-3x=-4+14
-2x=10
x=10/(-2)       x=-5

Es importante recordar lo aprendido con los monomios y polinomios (Eliminar parentesis, etc).

despejar incógnita en las ecuaciones de primer grado

Estos son los métodos fundamentales para despejar la incógnita de una ecuación (suma,resta,multiplicación y división).

Despejar incógnita en suma o resta

3+x=10
Para despejar utilizamos la transposición de términos algebraicos
x=10-3      x=7

En caso de resta procedemos de igual manera.
En la resta
x-15=9
Con la transposición de términos.
x=9+15    x=24

incógnita en multiplicación

En la ecuación
5x=20
despejamos la incógnita con la transposición
x=20/5     x=4

Incógnita en una división

En la ecuación
x/6=10
despejamos con la transposición
x=10*6     x=60

Términos algebraicos y transposición

Los términos algebraicos dentro de una ecuación están compuestos por el término que contiene la incógnita y el término independiente.

El termino que contiene a la incógnita esta compuesto por cuatro partes, la parte literal, el coeficiente, el exponente y el signo.
El término independiente solo contiene el número y el signo, ya que si contiene exponente este se despeja facilmente.

Transposición de términos

La transposición de términos algebraicos es una técnica que nos permite resolver ecuaciones de manera sencilla. Con esta técnica se agrupan en un miembro todos los términos de la ecuación que contienen a x y en el otro miembro se agrupan los términos independientes (números).
Para resolver ecuaciones mediante la transposición de términos tenemos que reducir primero los términos semejantes, es decir, hacer mas sencilla la ecuación.
ejemplo

En la ecuación 9x-27-6x+30=4x-8, para reducir los términos algebraicos semejantes realizamos las operaciones de los términos que contienen a x y los que contienen números, en el caso de la ecuación anterior, por ejemplo.

los términos semejantes son.
En el primer miembro 9x-6x y -27+30
en el segundo miembro no hay términos semejantes 4x-8
Realizando las operaciones de cada miembro la ecuación queda reducida así
3x+3=4x-8

Ahora aplicamos la transposición de términos

1 Pasamos al miembro de la izquierda los términos del miembro de la derecha que contengan a x pero cambiados de signo.
2 Pasamos al miembro de la derecha todos los términos del miembro de la izquierda que sean números (cambiados de signo).

Continuando con la ecuación anterior, quedaria.
3x-4x=-8-3
De nuevo reducimos términos semejantes para hacer aun más sencilla la ecuación.
-x=-11
Despejamos la ecuación
-x=-11         x=-11/-1        x=11


Ejemplo

x+9=13
Transposición de términos
x=13-9
Despejando x
x=4

Ecuaciones equivalentes

Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones
Ejemplo
Comprobamos si las ecuaciones x+2=8 y 2x+4=16 son ecuaciones equivalentes

x+2=8          x=8-2               x=6

2x+4=16      x=(16-4)/2       x=6

Estas dos ecuaciones tienen la misma solución, son ecuaciones equivalentes

Propiedades de las ecuaciones

Las siguientes propiedades de las ecuaciones son conocidas como.

Regla de la suma

Si a los dos miembros de una ecuación de primer grado se les suma o resta el mismo número o una expresión semejante a las que aparecen en la ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
ejemplo
Si a los dos miembros de la ecuación x-4=16 les sumamos el número 5
x-4+5=16+5
La ecuación resultante es equivalente a la inicial, es decir, tiene la misma solución.
Comprobamos
x-4=16                   x=16+4                 x=20
x-4+5=16+5          x=16+5-5+4          x=20

Regla del producto

Si a los dos miembros de una ecuación de primer grado se les multiplica o divide por un mismo número distinto de 0, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
ejemplo
Si a los dos miembros de la ecuación 3x=12 los dividimos por 6
3x/6=12/6
La ecuación resultante es equivalente a la inicial.
Comprobamos
3x=12                x=12/3            x=4
3x/6=12/6          x=12/6*6/3     x=4

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Es cualquier ecuación que se puede expresar de la forma ax+b=0 con a distinto de 0 y b cualquier número (a y b son números) x la incógnita. La solución a esta ecuación de primer grado con una incógnita es. x=-b/a y se lee x igual a, menos b entre a, también podemos expresar la división en forma de fracción, es decir, de la forma -b sobre a.

ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de estas.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita se denominan así porque:

Tiene una única incógnita
El grado de la incógnita es 1

Una ecuación de primer grado se puede expresar de la forma ax=b (a y b son números, x es la incógnita, a necesita ser distinta de 0.

Ejemlos de las partes de las ecuaciones de primer grado con una incógnita.
En la ecuación x+4=10
x es la incógnita y es única.
Es una ecuación porque solo tiene una solución x=6       6+4=10
La incógnita (termino x) tiene grado 1     x=x¹

Ejemplos de como comprobar que un valor de la incógnita es solución de una ecuación de primer grado con una incógnita
Comprobamos las siguientes operaciones sustituyendo x en la operación.

6x-3=37   cuando nos dan el valor x=7      6*7-3=37 no se cumple la igualdad, por lo tanto no es solución de la ecuación

4-5x=-31 cuando nos dan el valor x=7        4-5*7=-31 se cumple la igualdad, por lo tanto es solución de la ecuación

Solución de ecuaciones

La solución de ecuaciones son los valores numéricos de la incógnita (letra o letras) que hacen que la igualdad sea cierta.
Para comprobar si un número es solución de una ecuación basta con sustituir la variable (letra) por dicho número y operar. Si obtenemos el mismo valor en ambos miembros de la ecuación, ese número es solución de la ecuación, ya que comprueba la igualdad numérica.
Una ecuación puede tener una, varias o ninguna solución.

ejemplos de solución de ecuaciones.
x+1=0                tiene una única solución, x=-1
x²=4                   tiene dos soluciones, x=2 y x=-2
x²=-1                 no tiene ninguna solución, ya que no existe ningún número real, que elevado al cuadrado de como resultado un número negativo.

Partes de una ecuación

Partes de una ecuación. -Se llama incógnitas de una ecuación a las letras que intervienen en ella.
2y-x-5=42                  Ecuación con dos incógnitas.
5x(2x+3)-8=20           Ecuación con una incógnita.

En las partes de una ecuación también encontramos el grado de ella, el grado se puede encontrar despues de hacer todas las operaciones y es el exponente de mayor grado que figura en la ecuación (exponente de las letras).
5x+5=25                    El exponente de x es 1 ecuación de primer grado.
x³+x+5=95                 EL exponente de mayor grado es 3 ecuación de tercer grado.
(x-5)(x-2)=0              Realizando la operación resulta x²-7x+10=0 ecuación de segundo grado.

En las partes de una ecuación la parte izquierda de la igualdad se denomina primer miembro, y la parte de la derecha, segundo miembro.
Cada miembro esta formado por uno o más sumandos que se denominan miembros de la ecuación.
                                       2x     +      8x              =             (3x+2)      +      5
                                 termino        termino                         termino           termino
                                    primer miembro                               segundo miembro

Qué es una ecuación?

Qué es una ecuación?. Es una expresión matemática separada por el signo =, la cual esta constituida por varias partes, esta caracterizada por contener números y letras. En su forma más sencilla se representa con una expresión como esta 2x=8.
También debemos tener en cuenta que existe una diferencia entre que es una ecuación y que es una identidad, las podemos diferenciar fácilmente siguiendo los siguientes criterios.

Las identidades son expresiones que pueden contener letras pero si damos cualquier valor a la letra se comprueba la igualdad.
Ejemplo de identidad.

En la expresión    5x-2x=3x
Al dar cualquier valor a la letra x se cumple la igualdad. damos los valores consecutivos (1,2,3,4 .....) y comprobamos que en todos los casos se comprueba la igualdad.
1      5-2=3
2      10-4=6
3      15-6=9
4      20-8=12
Y así infinitamente.
.
Las ecuaciones contienen números y letras, se les llama expresión algebraica, pero si damos cualquier valor a la letra comprobaremos que no es cierta la igualdad para todos los valores.

Ejemplo de que es una ecuación.
En la expresión    x+7=11
Si damos el valor 4 a x, es decir x=4 se comprueba la igualdad 4+7=11, pero si damos cualquier otro valor a x, el resultado no comprueba la igualdad, por ejemplo  x=5    5+7 no es igual a 11.