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Polinomios división multiplicación suma resta

Los polinomios son una parte importante del álgebra.
Están presentes en todos los contextos científicos y tecnologicos.

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de dos o más monomios. Los monomios que lo formas se llaman términos del polinomio.

La expresión P(x) indica un polinomio de una variable, x.
P(x)=5x3-2x2+7x+15 es un polinomio de variable x.

La expresión P(x,y) es un polinomio de dos variables x e y
P(x,y)=9x3y2+5xy2-4x+4 es un polinomio de dos variables x e y

Se dice que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes.
El polinomio
P(x)=2x3+3x3-3x2+5x2-1
Lo podemos reducir sumando o restando sus monomios semejantes
5x3+2x2-1

El grado de un polinomio reducido es el grado del término de mayor grado.
ejemplo
En el polinomio
P(x)=2x3-3x2+45 El grado es 3

El término independiente de un polinomio reducido es el monomio de grado 0 (el que no tiene letra)
En el polinomio anterior el término independiente es 45

Un polinomio de grado n (cualquier grado) es completo cuando contiene todos los monomios de grado inferior a n, y es ordenado cuando todos los monomios se expresan de forma creciente o decreciente.
ejemplo
El polinomio 5x3-2x+7 No es completo porque no contiene monomio de grado 2, es decir x2

El polinomio opuesto de P(x) es -P(x)y se obtiene cambiando de signo todos los coeficientes del polinomio original, es decir, de P(x)
ejemplo
P(x)=5x3-4x2+3x-2  El opuesto es -P(x)=-5x3+4x2-3x+2

Suma y resta de polinomios

La suma de dos o más polinomios se calcula sumando los monomios semejantes. Para facilitar el calculo, se pueden poner los polinomios en forma de columna, haciendo coincidir los monomios semejantes.
Ejemplo

P(x)+Q(x)            P(x)=x3+x2+x+1            Q(x)=2x2-x-3

               x3+x2+x+1
Suma           2x2-x-3             El polinomio resultante es             x3+3x2-2
               x3+3x2  -2
Para restar dos polinomios se le suma al minuendo el polinomio opuesto del sustraendo.
Ejemplo

P(x)-Q(x)        P(x)=x2-x+2          Q(x)=x3+2x2-5          El opuesto de Q(x) es -Q(x)=-x3-2x2+5

                                         x2-x+2
Resta         opuesto     -x3-2x2    +5           El polinomio resultante es       -x3-x2-x+7
                                  -x3  -x2-x +7

Multiplicación de polinomios

La multiplicación de polinomios de dos polinomios se halla multiplicando cada uno de los monomios de uno de ellos por todos los monomios del otro, sumando despues los polinomios obtenidos en esas multiplicaciones.
Ejemplo.

P(v)*P(x)                               P(v)=3x2+x+1                         P(x)=2x

                               3x2+x+1
Multiplicación                 2x El polinomio resultante es     6x3+2x2+2x
                           6x3+2x2+2x

Ejemplo

T(x)*S(x)             T(x)=2x3+x+1              S(x)=2x2+x

                                                2x3            +x      +1
Multiplicación                                 2x2 +x

                                     + 2x4             +x2 +x
Suma                   +4x5            +2x3  +2x2

Resultado              4x+2x+2x3    +3x+x

Factor común de polinomios

Al sacar factor común a un polinomio se consigue expresar una suma o una resta algebraica por medio de una multiplicación.

Pasos para estraer el factor común a un polinomio
En la expresión
3x4yz-6x3y+3x2y
1-Nos fijamos en las letras que se repiten en todos los términos y tomamos las que aparecen con menor exponente.
Las letras (x,y) se repiten en todos los términos
El menor exponente de x es x2
El menor exponente de y es y
Factor común x2y

2- Tomamos el menor número que aparece en la expresión y vemos si es divisor de los demas. Si lo es, lo tomamos como factor común
El menor número es el 3. Es divisor de 3 y 6 por lo tanto también es factor común de la expresión

Factor común del polinomio original 3x2y

3- Tomamos todos los factores comunes que hemos obtenido en los pasos anteriores y dividimos cada término del polinomio original por el factor común, y el resultado lo multiplicamos por el factor común obtenido.

Nos da como resultado

(3x4yz)/(3x2y)=x2z

(-6x3y)/(3x2y)=-2x

(3x2y)/(3x2y)=1

Multiplicando el resultado por el factor común
3x2y(x2z-2x+1)

Potencia de polinomios

La potencia de un polinomio P(x)n es una forma abreviada de escribir la multiplicación del polinomio n veces.

Ejemplo

P(x)n=P(x)*P(x)*P(x)...
                  n veces

En este ejmplo calculamos la potencia de un binomio (polinomio de dos términos)

(x+y)1=x+y

(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+2xy+y2

(x+y)3=(x+y)(x+y)(x+y)=x3+3x2y+3xy2+y3

La potencias de un binomio tienen algunas propiedades. los coeficientes de las distintas potencias tienen una regla o relación y se pueden observar en el triángulo de Tartaglia.

División de polinomios

Para realizar la división de dos polinomios es necesario que el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor.

Se tiene que verificar la igualdad           D(x)=        C(x)*     d(x)+    R(x)
                                                       Dividendo    Cociente  Divisor  Resto

El grado del polinomio dividendo es igual a la suma de los grados de los polinomios cociente y divisor. E grado del polinomio resto es siempre menor que el del divisor.

La división de dos polinomios se realiza siguiendo estos pasos

1- El primer término del resultado o cociente se obtiene dividiendo el término de mayo grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.

2- Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se le resta al dividendo.

3- Con el nuevo dividendo obtenido se repite el proceso hasta que el grado resulte menor que el del divisor.

Si el resto de la división de dos polinomios es un polinomio nulo (es 0), es decir, si R(x)=0 se dice que la división es exacta, en caso contrario hablamos de división entera de polinomios

Ejemplo

Realizamos la siguiente división de polinomios

(2x3+x2+x+1)/(x2-1)

1 Dividimos los terminos de mayor grado del dividendo y divisor
(2x3)/(x2)=2x

Este resultado es nuestro primer término del cociente o resultado final

2 El resultado lo multiplicamos por el divisor
    x2-1
       2x
2x3-2x

El resultado se lo restamos al dividendo
                               2x3  +x2  +x+1
                               2x3          -2x

Resultado                       x2  +3x+1

El resultado es nuestro nuevo dividendo
Repetimos el proceso con el nuevo dividendo

Tomamos los términos de mayor grado(del nuevo dividendo y del divisor)
(x2)/(x2)=1

Este resultado es nuestro segundo termino del cociente o resultado final

El resultado lo multiplicamos por el divisor
(x2-1)*1=x2-1
El resultado lo restamos a nuestro segundo dividendo

                              x2+3x+1
                              x2         -1

Resultado                   3x+2

El resultado es de menor grado que el divisor (paramos de dividir y como el resultado no es 0, este es el resto de la división)
Tomando los cocientes (resultados) de las distintas divisiones que realizamos tenemos nuestro resultado final
Resultado=2x+1       Resto=3x+2

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