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Números naturales

Los números naturales son infinitos, el conjunto de los números naturales se representa por N (cuando representamos el conjunto nos referimos a N=(1,2,3,4,5,6....)), es decir, _N contiene a todos los números naturales.

El conjunto de los números naturales

N=(1,2,3,4,5....) indica el conjunto de los números naturales.

1- Los conjuntos se designan con letras mayúsculas.

2- Tras el signo = se especifican sus elementos entre llaves.

3- Si el conjunto contiene muchos elementos, se escriben algunos de ellos y se termina con tres puntos para indicar que existen más.

Representación de los números naturales

Sabemos que los números naturales son infinitos, porque siempre podemos encontrar un número mayor sumándole una unidad a cualquiera de ellos (al decir una unidad, me refiero a sumarle 1).
Este tipo de números se pueden representar ordenados de mayor a menor en una recta numérica.

ordenación de los números naturales

Cuando tenemos dos números naturales cualesquiera, siempre hay uno menor y otro mayor, a menos que sean el mismo.

Para ordenar dos o más números naturales utilizamos unos símbolos especificos, los cuales detallamos a continuación.

Suponemos que tenemos dos números a y b, y en este caso a es menor que b. Para representar esta situación utilizamos el símbolo menor que <, el cual lo escribiremos de la siguiente manera.

a<b

Y se lee a es menor a b (que en caso de números podria ser, por ejemplo, dos es menor a tres).

Ahora suponemos que a es mayor que b, el símbolo que usamos seria el mayor que >, el cual escribimos de la siguiente manera.

a>b

Y se lee a es mayor a b (en caso de números, tres es mayor a dos).

Supongamos ahora que, a es igual que b, el símbolo que usamos es = (igual que), y lo escribimos asi.

a=b

Se lee a es igual a b (en caso de números es, dos es igual a dos).

ejemplos.

2<5 se lee dos es menor a cinco.

8>4 se lee ocho es mayor a cuatro

7=7 se lee siete es igual a siete

Sistemas de numeración

Los sistemas de numeración que usamos son sistemas posicionales, ya que una misma cifra tiene un valor diferente según la posición que ocupe en el número. Por ejemplo, en el número 262, el 2 de la izquierda vale 200 y el de la derecha solo 2, es decir, tienen distinto valor.

Existen varios sistemas de numeración, los cuales, incluso, son representativos de algunas culturas o civilizaciones.

Sistema de numeración romano

Los símbolos utilizados en este sistema de numeración y sus equivalentes en nuestro sistema son los siguientes.

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000


Se dice que este es un sistema aditivo, porque para hallar lo que vale un número, se va sumando el valor que representa cada símbolo (en este sistema no hay ninguna símbolo que represente el número 0).

Existen algunas reglas para utilizar estos símbolos correctamente, a continuación enumeramos estas sencillas reglas.

1- El símbolo I se puede escribir a la izquierda de V y X, cuando se escribe a la izquierda se le resta su valor, es decir, se resta 1.

IV=5-1 es decir, IV=4        IX=10-1 es decir, IX=9


2- El símbolo X puede escribirse a la izquierda de L o C, cuando se escribe a la izquierda se resta su valor, es decir, se restan 10.

XL=50-10 XL=40       XC=100-90 XC=90


3- El símbolo C puede ir a la izquierda de D o M, al igual que los otros cuando se escribe a la izquierda, se resta su valor (100).

CD=500-100 CD=400         CM=1000-100 CM=900


4- Los símbolos I, X, C, M se pueden escribir un máximo de tres veces seguidas. Las demás, no (V, L, D).

VIII=5+1+1+1 VIII=8         XXII=10+10+1+1 XXII=22


5- Una raya colocada encima de un símbolo o grupo de símbolos multiplica su valor por mil.


Ejemplos de como escribir un número usando el sistema de numeración romano.

MDCLXVI=1000+500+100+50+10+5+1=1666

MMDXLVIII=1000+1000+500+40+5+1+1+1=2548

CMLXXIV=900+50+10+10+4=974

Ahora escribimos un número natural en números romanos.

955=CMLV

1421=MCDXXI

Sistema de numeración decimal

El sistema que usamos es el sistema de numeración decimal y y consta de diez símbolos, los cuales llamamos cifras o dígitos.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9


Los distintos valores que puede ocupar una cifra son las unidades.
Este sistema tiene dos cualidades o caracteristicas importantes.

1- Es decimal: diez unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente.

2- Es posicional: El valor de cada cifra (número) depende de su posición en el número que se representa.

Observamos la siguiente tabla con algunas unidades de este sistema, lo ordenaremos de menor a mayor.

U- Unidades (una sola cifra) 1.
D- Decenas: (dos cifras) 10
C- Centenas (tres cifras) 100
UM- Unidades de mil (cuatro) 1,000
DM- Decenas de mil (cinco) 10,000
CM- Centenas de mil (seis) 100,000
UMM- Unidades de millón (siete) 1,000,000
DMM- Decenas de millón (ocho) 10,000,000
CMM- Centenas de millón (nueve) 100,000,000


Esta es la forma en que sabremos que que posición ocupa cada cifra dentro del número.

En la siguiente tabla observamos la posición que ocupa cada cifra en un número cualquiera.

Como se leen los números en el sistema de numeración decimal

En nuestro sistema de numeración leemos los números de la siguiente manera.

64                    Sesenta y cuatro.
756                  Setecientos cincuenta y seis.
48,294             Cuarenta y ocho mil doscientos noventa y cuatro.
45,502,000       Cuarenta y cinco millones quinientos dos mil.

Sistema de numeración binario

El sistema de numeración binario o sistema de numeración de base dos, utiliza sólo las cifras 0 y 1, y cada dos unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.

La forma de representar un número escrito en el sistema binario es la siguiente.

En el siguiente ejemplo observamos la equivalencia del sistema de numeración decimal y el sistema binario.

Sistema decimal               Sistema binario

0                                        0
1                                        1
2                                      10
3                                       11


Paso de un número en sistema binario a decimal

En el sistema decimal, el valor de cada cifra se obtiene multiplicando por la potencia de 10 correspondiente.

En el sistema binario multiplicamos la cifra por la potencia de 2 (22, 23...) adecuada.

Ejemplo

Binario                      Paso a decimal                      Decimal

1101                 1*23+1*22+0*2+1=8+4+1              13

10001001                1*27+1*23+1= 128+8+1                137


En el segundo ejemplo ya aprendimos que las cifras cero se pueden omitir ya que, 0 multiplicado por cualquier número es siempre =0

Paso de un número en sistema decimal a binario

Para pasar un número decimal a sistema binario vamos dividiendo sucesivamente por 2 hasta que el cociente sea 1. Una vez que terminamos el proceso, es decir, cuando el último cociente es 1, tomamos el último cociente y los restos de la división, y escrito en ese orden tenemos nuestro numero expresado en el sistema de numeración binario.

Ejemplo

Expresamos el número 28 en el sistema binario.

1- dividimos 28 entre 2 el resultado es 14 y el resto es 0

2- Dividimos 14 entre 2 el resultado es 7 y el resto 0

3- Dividimos 7 entre 2 el resultado 3 el resto 1

4- Dividimos 3 entre 2 el resultado 1 resto 1

Como el resultado de dividir 3 entre 2 es 1 paramos de dividir (terminamos el proceso).

Ahora tomamos el último resultado y los restos de las divisiones efectuadas en este proceso.

El resultado que obtenemos en el sistema binario es

28=11100


Sistema de numeración maya

La mayor parte de las civilizaciones antiguas tenian su propio sistema de numeración, de entre todos ellos destaca el sistema de numeración maya. La civilización maya se desarrolló en américa central.

El número uno lo representaban con un punto.
El 5 con una raya _
El 0 con un óvalo

Su sistema era vigesimal, es decir, hacian grupos de 20, con los tres símbolos escribian los números hasta el 19, y para números mayores colocaban distintos niveles de abajo hacia arriba y sumaban los valores obtenidos en todos los niveles.

El primer nivel se multiplicaba por 1
El segundo nivel se multiplicaba por 20
El tercero por 360, es decir por (20*18)
El cuarto por 7200 es decir (20*18*20)

Y así sucesivamente.

Ejemplos del sistema de numeración maya.

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