Operaciones con números naturales

Las cuatro operaciones básicas que se pueden realizar con los números naturales son suma, resta, multiplicación y división. También se pueden realizar operaciones combinadas, es decir, una operación que contenga dos o más de estas operaciones básicas.

Suma de números naturales

Sumar, es reunir, acumular o añadir.

Los términos de la suma o adición se llaman sumandos. Al resultado de una suma lo llamamos total.

Propiedades de la suma

Las sumas de números naturales tienen tres propiedades las cuales estudiaremos a continuación.

Conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado.

6+15=15+6
21=21

Asociativa: El orden en que se agrupan los sumandos no altera el resultado.

(4+12)+5=4+(12+5)
16+5=4+17
21=21

Elemento neutro: El elemento neutro es el número cero, ya que cualquier número sumado a cero es igual al mismo, es decir, no cambia el número.

48+0=48

Resta de números naturales

Restar es quitar, sustraer o disminuir. Los términos de la resta se llaman minuendo, sustraendo y resta o diferencia (el resultado).

minuendo-sustraendo=diferencia

Si el minuendo es menor que el sustraendo, la resta no tiene solución, ya que en los números naturales no existen números negativos (los números negativos los encontramos en el conjunto de los números enteros).

5-12=?

En algunas expresiones aparecen de forma combinada la suma y la resta, a este tipo de operaciones se les llama operaciones combinadas y también pueden contener multiplicaciones y divisiones. En el caso de una operación con sumas y restas, ambas operaciones tienen la misma prioridad y se realizan según su orden de aparición

Cuando en una operación aparece una suma, resta o ambas dentro de un parentesis, les damos prioridad, es decir, siempre se realizan primero la operaciones que se encuentran dentro del parentesis.

Ejemplos

12+4-6+25=35

18+(14-7)=18+7=25

(15+5)-(4+12)+8=20-16+8=12

4+(18+4-5+16+3-9)-2=4+27-2=29

Multiplicación de números naturales

La multiplicación se puede definir como una expresión abreviada de la suma de varios sumandos iguales.

(2*5=10, 2+2+2+2+2=10)

Los términos de la multiplicación se llaman factores.

El resultado de una multiplicación se llama producto.

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación tiene cuatro propiedades que son muy importantes.

Conmutativa: El orden de los factores no altera el resultado.

8*3=3*8
24=24

Asociativa: El orden de agrupación de los factores no altera el resultado.

(2*4)*5=2*(4*5)
8*5=2*20
40=40

Distributiva: La multiplicación de un número por una suma o una resta es igual a la suma o resta de las multiplicaciones del número por cada término.

2*(4+5)=2*4+2*5
2*9=8+10
18=18


5*(8-2)=5*8-5*2
5*6=40-10
30=30

Elemento neutro o la unidad (el número 1).

Cualquier número multiplicado por la unidad (el número 1) es igual al mismo.

8*1=8

Ejemplo de como resolver un problema usando la multiplicación

Si compramos 8 costales de maíz que pesan 6 kilos cada uno. ¿Cuantos kilos de maíz compramos en total?

Por el método de la suma tenemos.

6+6+6+6+6+6+6+6=48

Por el método de la multiplicación tenemos.

6*8=48 que es lo mismo que 8*6=48

Aplicamos la propiedad distributiva para resolver la multiplicación 4*(2+6)

4*(2+6)
4*2+4*6
8+24
=32

Resumen

Conmutativa

a*b=b*a

Asociativa

(a*b)*c=a*(b*c)

Propiedad distributiva

a*(b+c)=a*b+a*c
a*(b-c)=a*b-a*c

Elemento neutro

a*1=a

División de números naturales

En la división de dos números naturales, llamamos dividendo (D) al número que vamos a dividir, divisor (d) al número por el que vamos a dividir, cociente (C) al resultado de esta división y resto (R) al resto de esta, si es que hay resto..
La división consiste en repartir una cantidad dada en partes iguales.

Cuando el resto de una división es cero, se dice que es una división exacta, cuando el resto es distinto de cero, hablamos de una división no exacta.

Así se cumplen las siguientes igualdades.

1- Cuando el resto es cero tenemos.

D=d*c
El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente

2- Cuando el resto no es cero tenemos.

D=d*c+R
El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto.

Ejemplo de como resolver un problema con una división

Un padre quiere repartir $680 a partes iguales entre sus cuatro hijos. ¿Que cantidad le toca a cada hijo?.

1- Primero tenemos que analizar los datos del problema.
En este caso tenemos que dividir 680 entre 4.

Realizando la operación.

Le tocan $170 a cada hijo, es decir, el resultado de dividir 680 entre 4 es 170 y el resto es 0.

En caso de que la división tenga un resto, este ha de ser un número menor que el divisor.

Ejemplo.

Queremos repartir 28 canicas entre 5 niños. ¿Cuantas canicas le tocan a cada niño?.

Realizando la operación.

Le tocan 5 canicas a cada niño y sobran 3 canicas.

En este caso el resto es 3 y el cociente es 5.

Podemos comprobar la división realizando la comprobación de la igualdad.

D=d*C+R
28=5*5+3

Relación entre multiplicación y división

La multiplicación y la división son operaciones inversas.

1- De una multiplicación obtenemos dos divisiones exactas.


3*8=24
24/3=8
24/8=3 2- De una división exacta obtenemos una multiplicación y otra división exacta.


54/6=9
9*6=54
54/9=6

Operaciones combinadas con números naturales

Para realizar las operaciones combinadas seguimos un orden o jerarquia.

El orden que se debe seguir es el siguiente.

1- Se resuelven las multiplicaciones y divisiones que hay dentro de los parentesis, posteriormente las sumas y restas que están dentro de los parentesis. Con esto hemos eliminado los parentesis.

2- Se resuelven las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

3- Se resuelven las sumas y restas en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.


Resolvemos la operación 5+(6*3+4)*2=

1- Multiplicaciones y divisiones dentro del parentesis.

5+(18+4)*2=

2- Sumas y restas dentro del parentesis.(eliminamos el parentesis)

5+22*2=

3- multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

5+44=

4- Sumas y restas de izquierda a derecha.

5+44=49

El resultado de la operación original es 49


Realizamos la operación 3*(4+2*7)-(12+8-24/4)+7=

1- primer paso.

3*(4+14)-(12+8-6)+7=

2- segundo paso.

3*18-14+7=

3- tercer paso.

54-14+7=

4- cuarto paso.

54-14+7=47

El resultado de la operación original es 47