Raíces de un polinomio

Un número es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio, al sustituir la variable (letra) por ese número, es cero.

Un número n es raíz del polinomio P(x) cuando P(n)=0.

El número de raíces de un polinomio es siempre menor o igual que el grado del polinomio.

Ejemplo de raíces de un polinomio

Comprobamos si 1, -1 y 2 son raíces del polinomio.

P(x)=x³+2x²-x-2

Calculamos el valor numérico del polinomio para esos valores de x.

P(1)=1³+2*1²-1-2=0

P(-1)=(-1)³+2*(-1)²-(-1)-2=-1+2+1-2=0

P(2)=2³+2*2²-2-2=12

Como vemos para los valores de x=1 y x=-1 el resultado es 0 por lo tanto son raíces del polinomio.

Para el valor de x=2 el resultado no es cero, por lo tanto no es raíz.

Raíces enteras de un polinomio

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente.

Lo demostraremos con un polinomio de grado 4, este método es valido para cualquier polinomio.

En el polinomio P(x)=2x⁴+3x³-2x²-6x+2

Si el número n es una raíz entera del polinomio P(x) se cumple que P(n)=0, en este caso.

P(n)=2n⁴+3n³-2n²-6n+2=0

Si sacamos de este polinomio el factor común n, tenemos.

n(2n³+3n²-2n-6)+2=0

Como n es un número entero, la expresión 2n³+3n²-2n-6 es también un número entero (lo llamaremos m) por lo tanto tenemos.

m=2n³+3n²-2n-6 o lo mismo que n*m+2=0

también tenemos que.

m=-2/n que es entero y -m=2/n

La raíz entera n es un divisor del término independiente (2)

Pasos para calcular las raíces enteras de un polinomio

1- Encontramos los divisores del término independiente.

2- Calculamos el valor numérico del polinomio con x igual a los divisores del término independiente.

Ejemplo.

Calculamos las raíces del polinomio

P(x)=2x³-x²-5x-2

Los divisores del término independiente son 1, -1, 2 y -2.

Calculando los valores numéricos del polinomio tenemos.

cuando x=1            2-1-5-2=-6 El resultado no es 0 , no es raíz.

Cuando x=-1        -2-1+5-2=0 El resultado es 0, es raíz.

Cuando x=2         16-4-10-2=0 El resultado es 0, es raíz.

Cuando x=-2      -16-4+10-2=-12 El resultado no es 0, no es raíz.

Raíces y factorización de un polinomio

Vemos que si n es una raíz de P(x), P(n)=0. Según el teorema del resto, al dividir p(x)/(x-n), obtenemos como resto 0.

En ese caso como, D=d*c+r (dividendo es igual a divisor por cociente mas resto), si r=0, tendremos que P(x)=(x-n)*C(x), es decir, tendremos descompuesto P(x) en producto de dos factores.

Ejemplo.

Descomponemos el polinomio P(x) P(x)=x³+4x²+x-6 en producto de factores.

1- Encontramos las raíces del polinomio (para este ejemplo usamos la raíz 1).
Usando la regla de Ruffini encontramos el cociente y el resto.

El cociente de la división (x³+4x²+x-6)/(x-1) es x²+5x+6.

Como el resto es 0 , tenemos.

P(x)=(x-1)(x²+5x+6).

Observamos que hemos descompuesto el polinomio inicial en producto de dos factores.