Cuadrado de una suma, diferencia, suma por diferencia, igualdades notables

Cuadrado de una suma

La expresión (a+b)² es el cuadrado de la suma de dos monomios.
Es decir.

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b=a²+2ab+b²

El cuadrado de una suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)²=a²+2ab+b²

Demostración.

Calculamos el Área de un cuadrado de lado a+b.

A=b*a (el ares es igual a la base por la altura)
Entonces
A=(a+b)(a+b)=(a+b)²

Si sumamos las áreas de su interior tenemos.

A=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²

Por lo tanto.

(a+b)²=a²+2ab+b²

Cuadrado de una diferencia

La expresión (a-b)² es el cuadrado de una diferencia de dos monomios

El cuadrado de una diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.

(a-b)²=a*a-a*b-b*a+b*b=a²-2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

Suma por diferencia

Una expresión del tipo (a+b)(a-b) es una suma por diferencia y la podemos calcular facilmente de la siguiente manera.

El producto o multiplicación de una suma por una diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

(a+b)(a-b)=a*a-a*b+b*a-b*b=a²-b²

(a+b)(a-b)=a²-b²

Igualdades notables

Las igualdades notables se forman a partir de ciertos productos de monomios: cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia.

Ejemplos en los que se aplican las igualdades notables

Desarrollamos las siguientes igualdades notables

1-       (x²+2)²=(x²)²+2x²(2)+2²=x⁴+4x²+4

2-      (2x-3y)²=(2x)²-2(2x)(3y)+(3y)²=4x²-12xy+9y²

3-      (2x+y)(2x-y)=(2x)²-y²=4x²-y²

4- (2x+a)(2x-a)=(2x)²-a²=4x²-a²

Realizamos la siguiente operación usando las igualdades notables.

(2x-3)²-(2+x)²

1- Realizamos el cuadrado de una diferencia en el termino de la izquierda.

2- Realizamos el cuadrado de una suma en el termino de la derecha.

3- Eliminamos los parentesís.

4- Reducimos términos semejantes.

(2x-3)²-(2+x)²

(4x²-12x+9)-(4+4x+x²)

4x²-12x+9-4-4x-x²

Resultado de la operación inicial.

3x²-16x+5

Igualdades notables a la inversa

Expresamos el siguiente polinomio como una expresión del tipo (ax+b)² o (ax-b)² según sea el caso.

4x²+20x+25

1- Observamos que tipo de operación es (en este caso el resultado coincide con el cuadrado de una suma, lo deducimos porque son tres términos y todos se suman).

2- Comenzamos con el último término, recordando la formula del cuadrado de una suma (a+b)²=a²+2ab+b²
En este caso la raíz cuadrada de 25 es 5.

3- Proseguimos con el termino central, recordando la formula del cuadrado de una suma, para ese término tenemos 2ab.
Sabemos que el término b es 5, entonces tenemos.

2ax5

Encontramos el valor de a resolviendo la ecuación que se genera para que el resultado nos de 20 (x no lo tomamos en cuenta),tenemos la ecuación

2a*5=20
Despejando a tenemos
a=20/5/2     a=2

Ya que tenemos a, completamos la expresión agregando la incógnita x al termino que contiene a, es decir.

(2x+5)²

4x²+20x+25 = (2x+5)²